Théorème du moment cinétique
Définition
Théorème du moment cinétique:
Dans un référentiel galiléen la variation temporelle du moment cinétique \(L_O\) est égale à la résultante des moments des forces s'exerçant sur le point matériel:$$\frac{d\vec L_O}{dt}={{\mathcal {\vec M_0}(\vec F)}}$$
$$\begin{align}&\vec L_0=\vec{OM}\wedge m\vec v\\ &\frac{d\vec L_0}{dt}=\frac{d(\vec{OM}\wedge m\vec v )}{dt}\\ &=\vec v\wedge m\vec v+\vec{OM}\wedge\frac{dm\vec v}{dt}\\ &=\vec{OM}\wedge\vec F=\mathcal M_O(\vec F)\end{align}$$
Bilan du moment cinétique:
\(\vec L_0\) entre \(t\) et \(t+dt\):
\(\frac{\vec L_0(t+dt)-\vec L_0(t)}{dt}=\frac{d\vec L_0}{dt}= \vec{\mathcal M}(\vec F_{ext})\)
Système ouvert
Théorème du moment cinétique pour un système ouvert
Pour un système ouvert, le théorème du moment cinétique prend la forme suivante :
$${{\frac{D}{Dt}\iiint_{S(\Sigma)}\vec{OM}\wedge\vec v dm = \sum\vec{\mathcal M}(\vec F_{ext}) }}$$
Avec : - \(\frac{D}{Dt}\): la Dérivation particulaire. Celle-ci permet de tenir compte des flux entrant et sortant du système.
- \(\vec {\mathcal M}(\vec F_{ext)}\) : les moments des forces extérieurs appliquées aux systèmes. (Moment d'une force)
Dans un référentiel non galileen
Théorème du moment cinétique (non galiléen)
Théorème de Koening
Théorème du moment cinétique de Koenig
Pour un système à \(N\) corps
Théorème du moment cinétique (N corps)
Moment cinétique dans un référentiel barycentrique
Théorème du moment cinétique dans un référentiel barycentrique
